思维能力

隔板法原理
将 $ n $个**相同的元素**分配到 $ m $个**不同的组**，且每组**至少1个元素**，分配方法数为组合数 $ \mathrm{C}_{n-1}^{m-1} $（即从 $ n-1 $个间隔中选 $ m-1 $个位置放“隔板”，把元素分成 $ m $组）。

题目应用
题目中：

进修名额是**相同元素**（10个）；
下属科室是**不同的组**（设为 $ m $个）；
每个科室**至少1个名额**，符合隔板法条件。

因此，分配方案数为 $ \mathrm{C}_{10-1}^{m-1} = \mathrm{C}_{9}^{m-1} $。

题目说方案数为36，即 $ \mathrm{C}_{9}^{m-1} = 36 $。

### 求解组合数 $ \mathrm{C}_{9}^{k} = 36 $
组合数有性质：$ \mathrm{C}_{n}^{k} = \mathrm{C}_{n}^{n-k} $（对称性）。

计算 $ \mathrm{C}_{9}^{k} $的值：

$ \mathrm{C}_{9}^{0} = 1 $，$ \mathrm{C}_{9}^{1} = 9 $，
$ \mathrm{C}_{9}^{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 $，
$ \mathrm{C}_{9}^{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 $，
$ \mathrm{C}_{9}^{4} = 126 $，同理 $ \mathrm{C}_{9}^{5} = 126 $，$ \mathrm{C}_{9}^{6} = 84 $，$ \mathrm{C}_{9}^{7} = 36 $（因 $ \mathrm{C}_{9}^{7} = \mathrm{C}_{9}^{9-7} = \mathrm{C}_{9}^{2} $），$ \mathrm{C}_{9}^{8} = 9 $，$ \mathrm{C}_{9}^{9} = 1 $。

因此，$ \mathrm{C}_{9}^{m-1} = 36 $有两种情况：
1. $ m - 1 = 2 $，解得 $ m = 3 $；
2. $ m - 1 = 7 $，解得 $ m = 8 $。

验证选项
只有选项 **C（3或8）** 符合计算结果。

答案：$\boxed{C}$
 

甲乙丙丁四人参加一项测试，试题为10道判断题，每题1分。四人的答题情况如下表所示。已知四人一共答错10道题，成绩各不相同，且甲的成绩不是最高的。那么可以确定的是（）。

2. 详细解答

步骤1：定义事件与已知概率

• 设$A $为“购买A款服装”，则$P(A) = 0.4 $，$P(\overline{A}) = 1 - 0.4 = 0.6 $（$\overline{A} $为“不购买A款服装”）。
• 设$B|A $为“购买A时购买B”，则$P(B|A) = 0.6 $$B|\overline{A} $为“不购买A时购买B”，则$P(B|\overline{A}) = 0.3 $。
• 设$C|\overline{A}\overline{B} $为“既不买A也不买B时购买C”，则$P(C|\overline{A}\overline{B}) = 0.9 $$C|(A \cup B) $为“购买A或B时购买C”，则$P(C|A \cup B) = 0.1 $（$A \cup B $为“购买A或B”）。

步骤2：计算$P(B) $（购买B的概率）

根据全概率公式，购买B的概率可分为“购买A时买B”和“不购买A时买B”两种情况：
$$
\begin{align*}
P(B) &= P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) \
&= 0.4 \times 0.6 + 0.6 \times 0.3 \
&= 0.24 + 0.18 \
&= 0.42
\end{align*}
$$

步骤3：计算$P(\overline{A}\overline{B}) $（既不买A也不买B的概率）

“既不买A也不买B”是“不买A”且“不买B”，根据条件概率：
$$
\begin{align*}
P(\overline{A}\overline{B}) &= P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}|\overline{A}) \
&= P(\overline{A}) \cdot \left[1 - P(B|\overline{A})\right] \
&= 0.6 \times (1 - 0.3) \
&= 0.6 \times 0.7 \
&= 0.42
\end{align*}
$$

步骤4：计算$P(A \cup B) $（购买A或B的概率）

“购买A或B”的对立事件是“既不买A也不买B”，因此：
$$
P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - 0.42 = 0.58
$$

步骤5：计算$P(C) $（购买C的概率）

根据全概率公式，购买C的概率可分为“既不买A也不买B时买C”和“购买A或B时买C”两种情况：
$$
\begin{align*}
P(C) &= P(\overline{A}\overline{B})P(C|\overline{A}\overline{B}) + P(A \cup B)P(C|A \cup B) \
&= 0.42 \times 0.9 + 0.58 \times 0.1 \
&= 0.378 + 0.058 \
&= 0.436
\end{align*}
$$

步骤6：比较概率大小

• $P(A) = 0.4 $，$P(B) = 0.42 $，$P(C) = 0.436 $。
• 因此$P(C) > P(B) > P(A) $，即$C > B > A $。

3. 列出知识点

1. 全概率公式：若事件$B_1 B_2 \dots B_n $互斥且覆盖全集，则对任意事件$A $，有$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i) $。本题用于计算$P(B) $和$P(C) $。
2. 条件概率：$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} $（$P(B) > 0 $），体现“在事件$B $发生的条件下，事件$A $发生的概率”。
3. 对立事件与并事件的概率关系：$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A}\overline{B}) $，利用“对立事件概率和为1”简化计算。
4. 概率的基本运算：包括“已知条件概率求联合概率”（如$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B}|\overline{A}) $）等。

2. 详细解答

分析数列的相邻项倍数关系：

• $ 12 \div 24 = 0.5 $
• $ 12 \div 12 = 1 $
• $ 18 \div 12 = 1.5 $
• $ 45 \div 18 = 2.5 $

将这些倍数乘以2，得到新数列：$ 1 2 3 5 $，这是斐波那契数列（前两项之和等于后一项，即$ 1+2=3 $，$ 2+3=5 $）。因此，下一个倍数对应的斐波那契数为$ 3+5=8 $，再除以2得倍数$ 4 $。

所以空缺项为$ 45 \times 4 = 180 $，答案为D。

3. 列出知识点

• 数列规律分析：通过相邻项的倍数比值等运算寻找规律，是数字推理的核心方法。
• 斐波那契数列：典型的递推数列，满足“前两项之和等于后一项”的规律（如$ 12358\dots $），常作为隐藏规律出现在倍数差值等变形数列中。
• 倍数变形推理：将原数列的倍数关系进行二次变形（如乘以某个数），可转化为常见的递推数列（如斐波那契数列），从而快速找到规律。

2. 详细解答

本题利用对立事件概率公式（$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) $）求解，步骤如下：

• 步骤1：定义事件
  设“至少抽到1名业务尖兵”为事件$ A $，则其对立事件$ \overline{A} $为“没有抽到任何业务尖兵”（即女兵无尖兵且男兵无尖兵）。

• 步骤2：计算总抽法数
  从15名女兵中选3名，从5名男兵中选1名，总组合数为： 
  $$
    \mathrm{C}_{15}^{3} \times \mathrm{C}_{5}^{1} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} \times 5 = 455 \times 5 = 2275
    $$

• 步骤3：计算对立事件$ \overline{A} $的抽法数
  女兵中无业务尖兵的有$ 15 - 2 = 13 $名，男兵中无业务尖兵的有$ 5 - 1 = 4 $名。
  从13名女兵中选3名，从4名男兵中选1名，组合数为： 
  $$
    \mathrm{C}_{13}^{3} \times \mathrm{C}_{4}^{1} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} \times 4 = 286 \times 4 = 1144
    $$

• 步骤4：计算概率
  对立事件$ \overline{A} $的概率为：
  $$
  P(\overline{A}) = \frac{1144}{2275} \approx 0.503
  $$
  因此，事件$ A $的概率为：
  $$
  P(A) = 1 - 0.503 = 0.497 = 49.7%
  $$

综上，答案为B。

3. 列出知识点

• 组合数公式：$ \mathrm{C}_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $，表示从$ n $个元素中选取$ k $个元素的组合数。
• 对立事件概率公式：若$ A $与$ \overline{A} $为对立事件，则$ P(A) = 1 - P(\overline{A}) $，常用于简化“至少”类概率的计算。
• 古典概型：试验的所有可能结果为有限个且等可能，事件的概率等于“该事件包含的基本事件数除以总基本事件数”。